速成抢救考研概统·常见分布(2)泊松分布和指数分布

泊松分布和指数分布关系密切如下：
?????? 指数分布（或负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。
指数分布是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。
我们所常见常考的几种分布许多都属于指数族分布大类，即变量都在指数位置上，比如指数分布、泊松分布、正态分布、二项分布、伽马分布等。
一、泊松过程
?????? 泊松过程由法国著名数学家泊松证明。

通俗点一言以蔽之，就是在0~t的时间内，独立事件发生次数。直觉上来说，我们觉得这个发生次数应该有它自己的特征峰，既不能太多也不能太少。具体推导过程略，我们只需记结论：
显然阶乘增长比指数增长“后劲更足”，所以这个k小了和大了，概率都会跌。
二、泊松方程的参数 x

~p(λ)
只有一个参数λ。这个λ是啥呢？——λ是期望，也是方差。参数λ对图形的意义：
同时泊松分布与二项分布也有联系， 泊松分布是二项分布的一种极限，即独立重复试验次数n很大，而单次发生的概率又很微弱时二项分布就会近似为泊松分布
三、指数分布表达式
?????? 泊松分布是离散型分布，指数分布是连续型分布。泊松过程中邻近独立事件发生的时间间隔。显然姗姗来迟的概率是单调递减，即拖延不会太久，拖得越久概率越小。而立刻到来的概率是收敛于发生次数期望的倒数的。这是一种常见的操作，因为指数分布的变量是时间，单位时间与发生频率是倒数关系。
这里x就相当于t，是事件拖延尺度，越大就是拖延越久，概率越小。易得分布函数：
四、指数分布的性质
?????? 指数分布的期望是1/λ，方差是1/λ2。牢记，期望与泊松分布是天然的倒数关系，方差是期望的平方。
?????? 指数分布最重要的性质不是概率密度单调递减，而是无记忆性。就是独立事件拖延的时间长短的概率只与考察的时间长度有关，而与什么时候开始计时无关，也就是说这个概率具有时不变性。即比如一个灯泡坏了，我又修好了，我不知道它具体啥时候坏，距离下一次坏的时间长度是指数分布，在过去的48小时中，前天这24小时和昨天这24小时，它们坏的概率一样，也和我刚修好时一样，过24小时就坏这个事件发生的概率是时不变的。过48小时就坏的这个事件发生的概率是另一个不同的常数。