2004年考研数学三真题及解析(2004年考研数学一真题)

1、考研数学(三)真题、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上)sinx一(1)若lim(cosx-b)=5,贝 ua=,b=x0ex-a(2)设函数 f(u,v)由关系式“刈，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y),0,则墓=2xex设f(x)=，-121,x-22，则1f(x-1)dx=2(4)2,、2,、2,一次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)+(x2x3)+(x3+x1)的秩为设随机变量x服从参数为入的指数分布，则pxajdx=2(6)设总体x服从正态分布n(a,b)，总体y服从正态分布n(。o2),x1,x2，xi和yi

2、，y2,工2分别是来自总体x和y的简单随机样本，则、_2n2_2e(xi-x)+z(yj-y)lyjme=ni+n2-2lj二、选择题(本题共 6 小题，每小题 4 分，？茜分 24 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)函数f(x)=|x|s1n(x-2)在下列哪个区间内有界x(x-1)(x-2)2(a)(-1,0).(b)(0,1).(c)(1,2).(8)设 f(x)在(*,+0)内有定义，且limf(x)=a,xt二(d)(2,3).g(x)fe),x*0,则0,x=0(a) x=0 必是 g(x)的第一类间断点.(b)x=0 必是

3、g(x)的第二类间断点.(c) x=0 必是 g(x)的连续点.(d) g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关.(9)设 f(x)=|x(1-x)|,则(a) x=0 是 f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线 y=f(x)的拐点.(b) x=0 不是 f(x)的极值点，但(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(c) x=0 是 f(x)的极值点，且(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(d) x=0 不是 f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线 y=f(x)的拐点.(10)设有下列命题:若工(u2nt+u2n)收敛，则工un收敛.qo(2)若un收敛，则un书ooo收敛.nn1c

4、o(3)若lim皿1,则工un发散.n:unnooooqo(4)若(un+vn)收敛,则un,evn都收敛.nnn=1则以上命题中正确的是(a)(1)(2).(b)(2)(3).(c)(3)(4).(d)(1)(4).(11)设f(x)在a,b上连续，且f(a)0,f(b)0,则下列结论中错误的是(a)当|a|=a(a#0)时，|b尸a.(b)当|a|=a(a#0)时，|b尸a.(c)当|a|#0时，|b|=0.(d)当|a尸0时，|b|=0.若p|x|f(a).(b)至少存在一点x0w(a,b),使得f(x0)f(b).(c)至少存在一点x0e(a,b),使得f仇)=0.(d)至少存在一点x

5、0(a,b),使得f(x0)=0.(12) 设n阶矩阵a与b等价，则必有(13).*_设n阶矩阵a的伴随矩阵a#0,5,&,&,&是非齐次线性方程组ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组(a)不存在.(b)(c)含有两个线性无关的解向量.(d)ax=0的基础解系仅含一个非零解向量.含有三个线性无关的解向量(14) 设随机变量x服从正态分布n(0,1),对给定的户(0,1),数u0满足pxu=a,qocos2x2).x+y)da,其中d是由圆x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所围成的平面区域(如图).(17)(本题满分 8 分)设 f(x),g(x)在a,b上

6、连续，且满足xxfaf(t)dtfag(t)dt,xwa,b),bbxf(x)dx0)；dr(ii)推导=q(1-ed)(其中 r 为收益)，并用弹性ed说明价格在何范围内变化时,dp降低价格反而使收益增加.(19)(本题满分 9 分)设级数468-(-二:x二:)242462468的和函数为 s(x).求:(i) s(x)所满足的一阶微分方程；(ii) s(x)的表达式.(20)(本题满分 13 分)设的=(1,2,0)t,%=(1,a+2,3a)t,%=(-1,-b-2,，+2b)t,b=(1,3,-3)t,试讨论当a,b为何值时，(i)0 不能由 eq,02,3q线性表小;(n)b 可由

7、伪，0t2,0(3 唯一地线性表示，并求出表示式(in)b 可由 a,a2,3q线性表不，但表木式不唯一,并求出表本式(21)(本题满分 13 分)设n阶矩阵证明:bb1b-.b1,(i)求a的特征值和特征向量；(n)求可逆矩阵p,使彳导pap为对角矩阵.(22)(本题满分 13 分)1_1_1.设a,b为两个随机事件，且p(a)=一,p(b|a)=一,p(a|b)=一,令4321,a生，1,b发生，x=一小,y=，一小,0,a不发生，0,b不发生.求(i)二维随机变量(x,y)的概率分布；(n)x与y的相关系数很y；22.(m)z=x+y的概率分布.(23)(本题满分 13 分)设随机变量x

8、的分布函数为f(x,a,)=1j,xa，0,×0,b1.设x1,x2，xn为来自总体x的简单随机样本，(i)当a=1时，求未知参数b的矩估计量；(n)当 a=1 时，求未知参数b的最大似然估计量(出)当0=2时，求未知参数a的最大似然估计量2004年考研数学(三)真题解析一、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上)(1)若limsinx(cosx-b)=5,则 a=1,b=4x0ex-a【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为lim网上(cosxb)=5,且limsinx.(cosxb)=0,所以x)0ex-ax0lim(exa)=0,得 a

9、=1.极限化为x0sinx.xlim(cosx-b)=lim-(cosxb)=1b=5,得 b=-4.x0ex-ax0 x【评注】一般地，已知limf3=a,g(x)(1)若 g(x)t0,则 f(x)t0；(2)若 f(x)t0,且a丰0,则 g(x)t0.(2)设函数 f(u,v)由关系式 fxg(y),y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)丰0,:2f=g(v)fufvg2(v)【分析】令 u=xg(y),v=y,可得到 f(u,v)的表达式，再求偏导数即可【详解】令 u=xg(y),v=y,则 f(u,v)=+g(v),g(v)ff1:2fg(v)-5::ug(v)

10、fufvg2(v)【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元:的积分性质即可.211详解令 x1=t,(1f(x-1)dx=j-f(t)dt=_1f(x)dt922211=2xexdx，i1(-1)dx=0(一)2一22所以,2xex设f(x)=,_1-mx2，贝uf(x-1)dx=2x-1=t,再利用对称区间上奇偶函数【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解222,一次型f（xi,x2,x3）=（xi+x2）十（x2x3）+（x3+x1）的秩为 2.【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩，亦即标准型中平方项的项数，于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一因为f（x

11、1,×2,x3）=（x1+x2）2+（x2-x3）2+（x3+x1）2_2_2_2=2x12x22x32x1x22x1x3-2x2x3211a=121u-12【详解二】因为f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2_2_2_2=2x12x22x32x1x22x1x32x2x311232=2(x12x22x3)2(x2-x3)232=2y122,11其中y二x1x2x3,22所以二次型的秩为 2.1入的指数分布，则pxavdx=-.e【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案1【详解】由于dx=，x的分布函数为故111pxdx-1-pxdx-1-pxl1

12、-f（户.x入e【评注】本题是对重要分布，即指数分布的考查，属基本题型.f(x)0,×0,x三0.于是二次型的矩阵为由初等变换得1-12、1 -1203-3t03-3、03一3-118×0-4.sin2limf(x)=，limf(x)=0,limf(x)=0,x04x1x2所以，函数 f(x)在(-1,0)内有界，故选(a).【评注】一般地，如函数 f(x)在闭区间a,b上连续，则 f(x)在闭区间a,b上有界；如函数 f(x)在开区间(a,b)内连续，且极限lim+f(x)与limf(x)存在，则函数 f(x)在开区间(a,b)内有界.xaxb-(8)设 f(x)在(q,+叼内有定义，且li

13、mf(x)=a,x二g(x)=f(x),0，则0,x=0(a) x=0 必是 g(x)的第一类间断点.(b)x=0 必是 g(x)的第二类间断点.(c) x=0 必是 g(x)的连续点.(d) g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关.d1【分析】考查极限limg(x)是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换兀u=,x0 x可将极限limg(x)转化为limf(x).x_.0 x产:i11【详斛】因为limg(x)=limf(-)=limf(u)=a(令u=),又 g(0)=0,所以,x0 x0 xu)二x当 a=0 时，limg(x)=g(0),即 g(x)在点 x=0 处

14、连续，当 a#0 时，x0【详解】因为en1-1ni一z(xi-x)2=o2,i11n2_e=。2,limg(x)*g(0),即 x=0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x=0 处的连续性x.0与 a 的取值有关，故选(d).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性(9)设 f(x)=|x(1-x)|,则(a) x=0 是 f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线 y=f(x)的拐点.(b) x=0 不是 f(x)的极值点，但(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(c) x=0 是 f(x)的极值点，且(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(d) x=0 不是

15、 f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线 y=f(x)的拐点.c【分析】由于 f(x)在 x=0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查 f(x)在 x=0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况【详解】设 060,而 f(0)=0,所以 x=0 是 f(x)的极小值点.显然，x=0 是 f(x)的不可导点.当 xw(-5,0)时，f(x)=b(1-x),f(x)=20,当 xw(0,初时，f(x)=x(1-x),f(x)=2:unnqqoooqo(4)若工(un+vn)收敛，则z5,工vn都收敛.n1n1n1则以上命题中正确的是(a)(1)(2).(b)(2)(3).(c)

16、(3)(4).(d)(1)(4).b【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性.【详解】是错误的，如令un=(1)n,显然，zun分散，而z(u2nv+u2n)收敛.f(x)在 x=0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性qo1 可得到un不趋向于零(nt哨,所以un发散.n11.二二一一,显然，zun,zvn都发散，而nn=1n=1z(un+vn)收敛.故选(b).n1【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型(11)设f(x)在a,b上连续，且f(a)0,f(b)c0,则下列结论中错误的

17、是(a)至少存在一点x0w(a,b),使得f(x0)f(a).(b)至少存在一点x0w(a,b),使得f(xo)f(b).(c)至少存在一点x0w(a,b),使得f(x0)=0.(d)至少存在一点xo(a,b),使得f(xo)=0.【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项【详解】首先，由已知f(x)在a,b上连续，且f(a)0,f(b)0,由极限的保号性，至少存在一点x0w(a,b)xax-a使彳导f(x0)f(a)a0,即f(xo)f(a).同理，至少存在一点xqe(a,b)xo-a使得f(xo)f(b).所以，(a)(b)(c)都正确，故选(d).【评

18、注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度(12)设n阶矩阵a与b等价，则必有(a)当|a|=a(a#0)时，|b|=a.(b)当|a|=a(a#0)时，|b|=a.(c)当|a|#0时，|b|=0.(d)当|a|=0时，|b|=0.d【分析】利用矩阵a与b等价的充要条件:r(a)=r(b)立即可得.【详解】因为当|a|=0时，r(a)n,又a与b等价，故r(b)n,即|b|=0,故选(d).(3)是正确的，因为由，人1(4)是错误的，如令un=，vnn【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查，属基本题型.-*_一(13)设n阶矩阵a的伴随矩阵a于0,若互不相等的解，则对应的齐次线性

19、方程组ax=0的基础解系(a)不存在.(b)仅含一个非零解向量.(c)含有两个线性无关的解向量.(d)含有三个线性无关的解向量.b【分析】要确定基础解系含向量的个数，实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=n-r(a),而且n,r(a)=n,r(a*)=n,r(a)=n-1,0,r(a)n1.*根据已知条件a#0,于是r(a)等于n或n-1.又ax=b有互不相等的解即解不惟一，故r(a)=n-1.从而基础解系仅含一个解向量，即选(b).*【评汪】本题是对矩阵a与其伴随矩阵a的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查(14)设随机变量x服从正态分

20、布n(0,1),对给定的(0,1),数 ua 满足pxaua=a,若p|x|x=a,则x等于(a)ua.(b)ua.(c)uj(d)u.c1_222【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得【详解】由p|x|x=.故正确答案为(c).2【评注】本题是对标准正态分布的性质，严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分 8 分)21cosx、求lim(一 2-一 2).x0sinxx【分析】先通分化为“0”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可022.221cosxx-sinxcosx【

21、详解】lim(-)=lim2-2x0sinxxx-0 xsinx&,&,&,&是非齐次线性方程组ax=b的x2-1sin22x=lim4-二limx0 x4x01。“2x-sin4x2二lim4x3x01-cos4x6x2=limg4x)2x06x【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“-”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算0(16)(本题满分 8 分)求h(4×2+y2+y)dcr,其中 d 是由圆x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所围成的平面区域(如图).d【分析】首先，将积分区域 d 分为大圆d1=(x,y)|x2+y24减去小圆d2=(

22、x,y)|(x+1)2+y2m1,再利用对称性与极坐标计算即可【详解】令d1=(x,y)|x2+y24,d2=(x,y)|(x+1)2+y20,xwa,b,故有x2y2d二d二.x2y2d，il、x2y2d二did22二2=.0叽r2dr一二2d%2-2cosor2dr.16二3329；(3二-2)所以,(,x2y2y)d；:吟(3二一2).d9证明:af出一”出，a，b)，j出=agdfaxf(x)dxm(axg(x)dx.由题设 g(x)至 0,xwa,b,bg(x)dx0,ab即faxf(x)dx0.bb因此xf(x)dx0);dr=q(1-ed)(其中 r 为收益)，并用弹性ed说明价

23、格在何范围内变化时,dp收益增加(ii)推导降低价格反而使由于l 一lpdq,lpdqed0,所以 ed=-;由 q=pq 及 ed=-可推导ddqdpdqdppdqqdpdrdp=q(1-ed).【详解】(i)ed=pdqqdpp20-p(ii)由 r=pq,得drdpdqpdqp加二q(1g/xqo-ed).p又由 ed=1,得 p=10.20-p._dr-当 10p1,于是一0,dp故当 10p0 时，需求量对价格的弹性公式为pdq=pdqqdp-qdp利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式:drdr1dr=(1-ed)qdp,7=(1-ed)q,-=(1-)p,dpdqed

24、erep=1-ed(收益对价格的弹性).(19)(本题满分 9 分)设级数(i)b 不能由内，出,两线性表不+242462468的和函数为 s(x).求:(i) s(x)所满足的一阶微分方程;(ii)s(x)的表达式.【分析】对 s(x)进行求导, 可得到s(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得 s(x)的表达式.4x【详解】(i)s(x)=x246x十248x+2468易见 s(0)=0,x3s(x)=2x524x7+,246×2一=x2s(x).因此 s(x)是初值问题x3y=xy+,y(0)=0的解.23一x(ii)万程 y=xy+的通解为2xdxy=e.x32一xdxedxc由初始条

件

25、 y(0)=0,得 c=1.22xx2故y=+e2-1,因此和函数s(x)2xe2-1.【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题,(20)(本题满分 13 分)22002 年考过类似的题.试讨论当=(1,2,0)t,a?=(1,a+2,-3o)t,附=(-1,-b-2,a+2b)t,b=(1,3-3)t,a,b为何值时，(n)b 可由a,a2,的唯一地线性表示,并求出表示式；(in)b 可由 ai,ot2,奥线性表示，但表示式不唯一,并求出表示式.【分析】将b可否由x瓯,内线性表示的问题转化为线性方程组k1al+k2c2+k3的=b是否有解的问题即易求解.【详解】设有数k1，k2,k3，使

26、得ki仍+k2的+k3%=0.(*)记a=(，的，03).对矩阵(a,0)施以初等行变换，有11-1111-11(a,b)=2a+2-b-23t0a-b10-3aa+2b-3_/0a-b0_(i)当 a=0 时，有11-11(a,b)t00-b1.:00011可知r(a)手r(a,0).故方程组(*)无解,(n)当a#0,且a#b时，有11(a,b)t0a00r(a)=r(a,0)=3,方程组(*)有唯一解:.1,1.ck1=1-一，k2=一,k3=0.aa此时 b 可由 3，%,%唯一地线性表示，其表示式为(m)当a=b#0时，对矩阵(a,0)施以初等行变换b 不能由 a,为，区线性表示-1

27、1b1ta-b011001a1010a0010r(a)=r(a,0)=2,方程组(*)有无穷多解，其全部解为11k1=1一一,k2=+c,k3=c,其中c为任悬吊数.aab 可由 o),02,03 线性表示，但表示式不唯一,其表示式为一1、/、0=(1)%+(+c)兔+c%.(21)(本题满分 13 分)设n阶矩阵(i)求a的特征值和特征向量(n)求可逆矩阵p,使彳导p4ap为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题，通常可由求解特征方程【详解】(i)1二当b#0时,-b入一1-b-b入一1=入-1-(n-1)b入一(1-b)n4得a的特征值为1=1+(n-1)b,=2n=1

28、b.对a=1+(n-1)b,一1(a,b)t0-1-ba-b11-11.1a1a【评注】本题属于常规题型，a,曾考过两次(1991,2000).1b1bb19bbbah|e-a|=0和齐次线性方程组(正a)x=0来解决.-b-b1111-n100-p0n0-n010-199ata9a00n-n001-100-0j200-0解得自=（1,1,1，1）t,所以a的属于入的全部特征向量为得基础解系为n-1-1.-1-1、11,一11-1n-1-1-1-1n-1-1-1-一一一一t-1-1n-1-1-1-1n-1-12二当b=0时，a=e,对任意可逆矩阵p,均有_1_一pap=e【评注】本题通过考查矩

29、阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算，齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题，属于有一点综合性的试题.另外，本题的解题思路是容易的，只要注意矩阵中含有一个未知参数，从而一般要讨论其不同取值情况.(22)(本题满分 13 分)a-111人设a,b为两个随机事件，且p(a)=,p(b|a)=,p(a|b)=,令4321,a生，1,b发生，x=jy_j0,a不发生，0,b不发生.j求(i)二维随机变量(x,y)的概率分布；(n)x与y的相关系数很丫;_22.(m)z=x+y的概率分布【分析】本题的关键是求出(x,y)的概率分布，于是只要将二维随机变量(x,y)的各取值对转化为随机事件a和b

30、表示即可.1【详解】(i)因为p(ab)=p(a)p(b|a)=一,121则有px=1,y=1=p(ab)二一，121px=1,y=0=p(ab)=p(a)-p(ab)二61px=0,y=1=p(ab)=p(b)-p(ab):122=0,y=0=p(ab)=1-p(a-助二一尸p(b)-p(ab)n，、1112px=0,y=0-1),于是p(b)=3lp(a|b)6px(或126123即(x,y)的概率分布为:111(ii)方法一:因为ex=p(a)=,ey=p(b)=6，e(xy)=12,2121ex=p(a)=,ey=p(b)=,463_2_25dx=ex2-(ex)2=，dy=ey2-(

31、ey)2=,1616-1cov(x,y)=e(xy)-exey=24x,y 的概率分布分别为013144i,11351则ex=,ey=,dx=一，dy=，e(xy)=,46163612田八1故cov(x,y)=e(xy)exey=，从而24cov(x,y)_15dx.dy15(m)z 的可能取值为:0,1,2.pz=0=px=0,y=0=-,3、1pz=1=px=1,y=0px=0,y=1:4，、，、1pz=2=px=1,y=1=2，即z的概率分布为:z012p213412【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问所以x与y的相关系数cov(x

32、,y)_115dxdy.1515方法二:x题，属于综合性题型(23)(本题满分 13 分)设随机变量x的分布函数为其中参数a0,b1.设xi,x2，xn为来自总体x的简单随机样本(i)当 a=1 时，求未知参数 b 的矩估计量(n)当 a=1 时，求未知参数 b 的最大似然估计量(m)当 b=2 时，求未知参数 a 的最大似然估计量【分析】本题是一个常规题型，只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】当 a=1 时，x的概率密度为x1,x_1,(i)由于.s-x令=x,解得b=b-1x-1(n)对于总体x的样本值x1，x2，xn,

33、似然函数为bnf(xi；0)=(x1x2-xn)ht0，当x1(i=1,2，n)时，l(0)0,取对数得n所以，参数 b 的矩估计量为xx-1ex二,xf(x；3dx=1x/dx=nl(b)i1xi1(i=1,2,n),其他.lnl(0)=nlnp-(p-1)vinxi,i1是 b 的最大似然估计量为nn“lnxii1（出）当 b=2 时，x的概率密度为o22af（x,b）=”,0，其他.4=1,2，n）时，a越大，l（a）越大，即a的最大似然估计值为?=minxx2，,x-,于是 a 的最大似然估计量为?=minx1,x2，xn.dlnl（掰dl-xinxi,bi4令dlnl（0）dbinxi=0,解得nnqlnxii1对于总体x的样本值x1,x2，xn,似然函数为2n2nal（份=nf（xi；a）=（xx2xn）3xi始=12,n）,xoc,0,当xi