2007年考研数学二真题及答案(2007年考研数学二)

1、2007年考研数学二真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 当x0+时，与x等价的无穷小量是(a)1-e-x (b)ln1+x1-x(c)1+x-1 (d)1-cosx【答案】b。【解析】(当x0+)时ln1+x1-x=ln1+x-ln1-xx ex-x 1+x-112x 1-cosx12x几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。综上所述，本题正确答案是b。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较(2) 函数fx=(e1x+e)tanxx(e1x-e)在-,上的第一类间断点是

2、x=(a)0 (b)1(c)-2 (d) 2【答案】a。【解析】a:由limx0-e1x=0,limx0+e1x=+得limx0-f(x)=limx0-(e1x+e)tanxx(e1x-e)=limx0-e1x+ee1x-etanxx=e-e1=-1 limx0+f(x)=limx0+(e1x+e)tanxx(e1x-e)=limx0+e1x+ee1x-etanxx=11=1 所以x=0是fx的第一类间断点；b:limx1f(x)=limx1(e1x+e)tanxx(e1x-e)=c:limx- 2f(x)=limx- 2(e1x+e)tanxx(e1x-e)=d:limx 2f(x)=lim

3、x 2(e1x+e)tanxx(e1x-e)=所以x=1,x= 2都是f(x)的第二类间断点。综上所述，本题正确答案是a。【考点】高等数学函数、极限、连续函数间断点的类型(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间-3,-2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间-2,0,0,2上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设fx=0xf(t)dt,则下列结论正确的是(a)f3=-34f(-2)(b)f3=54f(2)(c)f-3=34f(2)(d)f-3=-54f(-2)-3 -2 -1 0 1 2 3y=f(x)xy【答案】c。【解析】【方法一】四个选项中出现的f(x)在四个点

4、上的函数值可根据定积分的几何意义确定f3=03f(t)dt=02f(t)dt+23f(t)dt=2-8=38 f2=02f(t)dt=2 f-2=0-2f(t)dt-20ftdt=-2=2 f-3=0-3f(t)dt=-30ftdt=-8-2=38 则f-3=34f(2)【方法二】由定积分几何意义知f2>f3>0,排除(b)又由f(x)的图形可知f(x)的奇函数，则fx=0xf(t)dt为偶函数，从而f-3=f3>0,f-2=f2>0显然排除(a)和(d),故选(c)。综上所述，本题正确答案是c。【考点】高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)

5、设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是(a)若limx0f(x)x存在，则f0=0(b)若limx0fx+f(-x)x存在，则f0=0(c)若limx0f(x)x存在，则f0存在【答案】d。【解析】(a):若limx0f(x)x存在，因为limx0x=0,则limx0f(x)=0,又已知函数f(x)在x=0处连续，所以limx0f(x)=f(0),故f0=0,(a)正确；(b):若limx0fx+f(-x)x存在，则limx0fx+f(-x)=f0+f0=0,则f0=0，故(b)正确。(c) limx0f(x)x存

6、在，知f0=0，则limx0f(x)x=limx0fx-f(0)x=f(0)不存在，故命题(d)不正确。综上所述，本题正确答案是d。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(5) 曲线y=1x+ln(1+ex)渐近线的条数为(a)0 (b)1(c)2 (d)3【答案】d。【解析】由于limx0y=limx01x+ln1+ex=，

7、则x=0是曲线的垂直渐近线；又 limx-y=limx-1x+ln1+ex=0 limx+y=limx+1x+ln1+ex=+所以y=0是曲线的水平渐近线；斜渐近线:由于-一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在+一侧。a=limx+yx=limx+1x+ln1+exx=limx+1×2+limx+ln1+exx =0+limx+ex1+ex=1b=limx+y-x=limx+1x+ln1+ex-x =limx+1x+ln1+ex-lnex =limx+1x+ln1+1ex=0则曲线有斜渐近线y=x，故该曲线有三条渐近线。综上所述，本题正确答案是d。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸

8、性、拐点及渐近线(6) 设函数f(x)在(0,+)内具有二阶导数，且f0，知曲线y=f(x)是凹的，显然，图1排除选项(a)，其中un=fn-；图2排除选项(b)；图3排除选项(c),其中un=fn+；故应选(d)。yu1 u2 xo 1 2yu1 u2 xo 1 2yu1 u2 xo

9、 1 2图1 图2 图3【方法二】排除法:取fx=(x-2)2,显然在(0,+)，f2时，fn=fn-f2+

10、f2=fcn-2+f2+则有un=fn+ 综上所述，本题正确答案是d。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(7) 二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是(a) lim(x,y)(0,0)fx,y-f(0,0)=0(b) limx0fx,0-f(0,0)x=0,且limy0f0,y-f(0,0)y=0(c) lim(x,y)(0,0)fx,y-f(0,0)x2+y2=0(d) l

11、imx0fy0,0y) =lim0fx,y-f(0,0)=lim0fx,y-f(0,0)x2+y2=0根据可微的判定条件可知函数f(x,y)在点(0,0)处可微综上所述，本题正确答案是

12、c。【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件(8) 设函数f(x,y)连续，则二次积分2dxsinx1f(x,y)dy等于(a)01dy+arcsinyf(x,y)dx (b) 01dy-arcsinyf(x,y)dx(c)01dy2+arcsinyf(x,y)dx (d) 01dy2-arcsinyf(x,y)dx【答案】b。【解析】交换积分次序，已知2<x<，sinx<y<1,则可得0<y<1, -arcsiny<x<综上所述，本题正确答案是b。【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本

13、性质和计算(9) 设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是(a)1-2, 2-3,3-1(b)1+2, 2+3,3+1(c)1-22, 2-23,3-21(d)1+22, 2+23,3+21【答案】a。【解析】(a):因为(1-2)+ 2-3+3-1=0,所以向量组1-2, 2-3,3-1线性相关；(b):1+2, 2+3,3+1=1,2,3101110011c=101110011因为1,2,3线性无关，所以判断1+2, 2+3,3+1线性无关|c|0由于101110011=20,故知1+2, 2+3,3+1线性无关；(c):(1-22, 2-23,3-21)=1,2,310-2-

14、2100-2110-2-2100-21=-70，同理1-22, 2-23,3-21线性无关；(d):1+22, 2+23,3+21=1,2,3102210021102210021=90，同理1+22, 2+23,3+21线性无关；综上所述，本题正确答案是a。【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关(10) 设矩阵a=2-1-1-12-1-1-12,b=100010000,则a与b(a)合同，且相似 (b)合同，但不相似(c)不合同，但相似 (d)既不合同，也不相似【答案】b。【解析】根据相似的必要条件:aii=bii，易得a和b肯定不相似，合同的充分必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性

15、指数。由e-a=-2111-2111-2=1-2111-2=(-3)2知矩阵a的特征值3,3,0.故二次型xtax的正惯性指数p=2,负惯性指数q=0,而二次型xtbx也是正惯性指数p=2,负惯性指数q=0，所以a和b合同综上所述，本题正确答案是b。【考点】线性代数二次型二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）(11) limx0arctanx-sinxx3= 。【答案】-16。【解析】【方法一】limx0arctanx-sinxx3=limx011+x2-cosx3x2 （洛必达法则） =13limx01-cosx-x2cosxx2(1+x2)

16、 =13limx01-cosxx2-cosx=1312-1=-16【方法二】泰勒公式:sinx=x-x33!+o(x3)arctanx=11+x2=1-x2+o(x2) arctanx=x-x33+ o(x3) limx0arctanx-sinxx3=limx0x-x33+ o(x3)-x-x33!+ox3x3 =limx0-13+16×3+o(x3)x3=-16【方法三】limx0arctanx-sinxx3=limx0arctanx-xx3+limx0x-sinxx3 =limx0-13x3x3+limx016x3x3=-16综上所述，本题正确答案是-16。【考点】高等数学函数、

17、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算高等数学一元函数微分学洛必达法则，泰勒公式(12) 曲线x=cost+cos2ty=1+sint上对应于t=4的点处的法线斜率为 。【答案】1+2。【解析】切线斜率k=dydx=y(t)=cost-sint-2sintcostt=4代入，得k=-11+2所以对应的法线斜率为1+2综上所述，本题正确答案是1+2。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义(13) 设函数y=12x+3,则yn0= 。【答案】(-1)n2nn!3n+1。【解析】【方法一】先求一阶导数，二阶导数，归纳总结

18、n阶导数则 y=12x+3=(2x+3)-1y=(-1)(-2) (2x+3)-322由此可归纳得到yn=-1nn!(2x+3)-(n+1)2n则yn0=(-1)n2nn!3n+1【方法二】利用幂级数展开，为求yn0将y=12x+3在x=0处展开为幂级数，则其展开式中x的n次幂项的系数为yn0n!,即可求出yn0。12x+3=1311+23x =131-23x+23×2+-1n23xn+所以yn0n!=-1n23n13推出yn0=(-1)n2nn!3n+1综上所述，本题正确答案是(-1)n2nn!3n+1。【考点】高等数学一元函数微

19、分学高阶导数(14) 二阶常系数非齐次微分方程y+3y=2xe2x的通解为y= 。【答案】y=c1ex+c2e3x-2e2x,其中c1,c2为任意常数【解析】对应齐次方程的特征方程为2-4+3=01=1,2=3则对应齐次方程的通解为y=c1ex+c2e3x设原方程特解为y*=ae2x,代入原方程可得4ae2x-8ae2x+3ae2x=2e2xa=-2所以原方程的特解为y*=-2e2x故原方程的通解为y=c1ex+c2e3x-2e2x,其中c1,c2为任意常数，综上所述，本题正确答案是y=c1ex+c2e3x-2e2x,其中c1,c2为任意常数。【考点】高等数

20、学常微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程(15) 设f(u,v)是二元可微函数，z=f(yx,xy)，则xzx-yzy= 。【答案】-2(f2xy)。【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数偏导数的概念与计算【答案】1。【解析】因为所以ra3=1。综上所述，本题正确答案是1。【考点】线性代数矩阵矩阵的乘法，矩

21、阵的秩三、解答题（本题共8小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(16) （本题满分10分）设f(x)是区间0,4上单调、可导函数，且满足0f(x)f-1(t)dt=0xtcost-sintsint+costdt其中f-1是f的反函数，求f(x)【解析】等式 0f(x)f-1(t)dt=0xtcost-sintsint+costdt两端同时对x求导，得f-1fxfx=xcosx-sinxsinx+cosx x0,4则fx=cosx-sinxsinx+c

22、osxdx=lnsinx+cosx+c由原题设知0f(0)f-1(t)dt=0因为f(x)是区间0,4上单调、可导函数，则f-1(t)的值域为0,4，它是单调，非负的。故必有f0=0f0=limx0f(x)=limx0lnsinx+cosx+c=c=0所以fx=lnsinx+cosx【考点】高等数学一元函数积分学积分上限的函数及其导数(17) （本题满分11分）设d是位于曲线y=xa-x2a(a>1,0x<+)下方，x轴上方的无界区域。(i) 求区域d绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积v(a)；(ii) 当a为何值时，v(a)最小，并求最小值。【解析】(i) 旋转体体积为va=0+y

23、2(x)dx=0+xa-xadx=-alna0+xda-xa =-alna(xa-xa)0+alna0+a-xadx =(alna)2(ii) v1=1的特解【解析】设y&#

24、39;=p,则y0=1,函数y=y(x)由方程y-xey-1=1所确定，设z=f(lny-sinx),求d2zdx2x=0,dzdxx=0【解析】在y-xey-1=1中令x=0得y=1方程y-xey-1=1

25、两端对x求导得y0=1【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数、隐函

26、数以及参数方程所确定的函数的微分法(20) （本题满分11分）设函数fx,g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数，且存在相等的最大值，fa=ga,fb=g(b),证明:存在(a,b)，使得f()。【解析】【方法一】令fx=fx-g(x),则fa=fb=0设fx,g(x)在(a,b)内的最大值为m，且分别在a,b，(a,b)时取到，即f=g=m若=,取到=,即f=0；若,则f= f-g=m-g0f= f-g=f-m0此时，由连续函数介值定理知在,之间至少存在点，f=0综上所述，存在a,b，使得f=0由罗尔定理知，存在1a,2,b,使得f&#

27、39;1=0,f

28、2=0；再由罗尔定理知，存在(1,2),使得fx+|y|2 计算二重积分d f(x,y)d,其中d=(x,y)|x+|y|2【解析】因为被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于x,y轴均对称，所以d f(x,y)d=4d1 f(x,y)d ，d1为d在第一象限内的部分而d1 f(x,y)d=x+y1,x0,y0 x2d+1x+y2,x0,y0 1×2+y2d =01dx01-xx2

29、dy+(01dx1-x2-x1x2+y2dy+ 12dx02-x1x2+y2dy) =112+2ln(1+2) 所以d f(x,y)d=4d1 f(x,y)d=13+42ln(1+2)【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(22) （本题满分11分）设线性方程组 x1+x2+x3=0x1+2×2+ax3=0x1+4×2+a2x3=0 与方程x1+2×2+x3=a-1 有公共解，求a的值及所有公共解。【解析】【方法一】方程组有公共解，即为将两个方程联立的解x1+x2+x3=0x1+2×2+ax3=0x1+4×2+a2x3=0x1+2×2+x3=a-1 对联立方程组的增广矩

30、阵进行初等行变换，有a=11112a14a2121 000a-111101a-103a2-1010 000a-110101000a-1000 1-aa-11-a(a-1)(a-2)已知方程组有解，所以应有a-1a-2=0，a=1,a=2此时，公共解为:x=k-101,其中k为任意常数。此时，有唯一的公共解为x=01-1【方法二】先求方程组的解，其系数行列式为11112a14a2=(a-1)(a-2)当a1,a2时，方程组只有零解，但此时x=(0,0,0)t不是方程的解，所以公共解发生在a=1或a=2时，当a=1时，对方程组的系数矩阵进行初等行变换111121141101010000方程组的通解

31、为x=k-101, 其中k为任意常数。此解也满足方程组，所以此时方程组和的公共解为x=k-101, 其中k为任意常数。当a=2时，同样求方程组的通解111122144111011033100011000方程组的通解为x=k0-11, 其中k为任意常数。将其代入方程组中得:0+2-k+k=1得k=-1,因此此时方程组和的公共解为x=01-1【考点】线性代数线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解(23) （本题满分11分）设3阶实对称矩阵a的特征值为1=1,2=2,3=-2,且1=(1,-1,1)t是a的属于1的一个特征向量，记b=a5-4a3+e,其中e为3阶单位矩阵。

32、(i) 验证1是矩阵b的特征向量，并求b的所有特征值和特征向量；(ii) 求矩阵b。【解析】(i) 由a=知an=n,那么b1=a5-4a3+e1=a51-4a31+1=15-413+11=-21所以1是矩阵属于b特征值1=-2的特征向量同理，a2=22，a3=33，有b2=25-423+12=2,b3=35-433+13=3因此，矩阵b的特征值为1=-2,2=3=1。由矩阵a是对称矩阵知矩阵b也是对称矩阵，设矩阵b关于特征值2=3=1的特征向量是=(x1,x2,x3)t，那么因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有1t=x1-x2+x3=0所以矩阵b关于特征值2=3=1的特征向量是2=(

33、1,1,0)t,3=(-1,0,1)t因此，矩阵b属于特征值1=-2的特征向量是k1(1,-1,1)t，其中k1是不为0的任意常数。矩阵b属于特征值=1的特征向量是k2(1,1,0)t+k3(-1,0,1)t，其中k2, k3是不全为0的任意常数。(ii) 由b1=-21,b2=2,b3=3，有b1,2,3=-21,2,3所以b=-21,2,31,2,3-1=-21-1210-20111-1-110101-1=-21-1210-201131-11121-112=01-1101-110【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵