2012考研数学二真题及答案(2012年考研数学二真题)
1、-2012考研数学答案一一数学二真题及完整答案一、加題:1詈小題每d強分，共32分，不歹悔小題给出的四个选项也 只有一顷符合題目要求 的，请将所选贿i的?辭在答鑑購定位蓋上f十工(1) 曲线*匸上二渐近线的条数为ox 1(a) 0(b) 1(c 2(d) 3【答那c$ +工hf析1: lim = x ,所r=l为垂直的a jc* -11 一亠飞= b所以=1初水平的没有斜渐近线故两条选cf x -1(2) 设函数几0=-1)(0-2儿 仗1 一力，其中料沂正整数，则/(0)=(a(-irm-i)t(b) (1)如纽(c (-dw!(d) (-1)切【答斜c【解祈】:/(x) = (-2)l (
2、-n) + (er-l)(2e2l-2)l 槪一町+l 1)(0 2)l-n)设砖0(/1=1,2,)，sm+a六s 则数列)有界是数列(偽)收敛的(a)充分必要条件.(b)充分非必要条件.(c) 必要非充分条件.(d)即非充分地非必要条件.【答案” (a)【解析】:由于勺0,则为正项级数，$=时口2+弘为正项级数的前巾 w=ln=l项和。正项级数前n项和有界与正向级数收敛是充要条件。故选a 设厶=e sinxdx(応=1丄3),则有d(a) ah h.(b) r2hh.(c) ii h(d)a 0?t e(0: ),即可知厶=ex sin nfr关于e在(0,兀)上为单调增 函数，又由于12
3、,3 6(0,),则厶 厶 厶，故选d(5)设函数f(xj)可微，且对任意.xj都有芈4 r 空丄2 x2?12.(b) x1 x2,刃.(c) . %2f yo,空型0表示函数心)关于变量x是单调递增的，关于变 dxdy量是单调递减的。因此 当x】2必有/(，) /(x,j2),故选d(6设区域d由曲线歹= sin x,x = 斗j =1:围成，则| 2一 1庆念=()(q龙 3)2(q-2(d)-龙【答那(d)【解祈】:由二重积分的区域对称性，jf 66, -1 血!le 血:-1 沟一兀的罡(一八4= 一1皿=1其中勺44心为任意常数，则f列向量组线性相关(a) 心(c) 4心【答案】:
4、(c)(b) also2?a4(d) 4440【鮮析】:由于i(厲,他心4)卜01 -1-11 =q 2=0,可知4心4线性相关。故选9)1 1(8)设力为3阶矩阵，p为3阶可逆矩阵，且pf= 1,戸e=( + a2,a:,a3j则。3辺二(1 、1、(a)2(b)1 1,p、q、z1 、故 qq =-1 1 0pxap1 1 0-1 1 011 1 0=1、0 0 1,、 h3 o 1.,卫0 1jx1 1 1 r + r + + t 、1 + it 2“ + rr+ kl n原式二 lim-y 十十i dx=r 二 arctan x 1 + .厂(1)5z(11)设z = f lnx +
5、*其中函数/()可微，则x二-i yexcz【答案川0cz1 z【解祈金因为丁二/=exx cy1 1 ”、i z r 5z8z y 5z 二 5x svj(12)徽分方程+(工一3天)冰二0满足初始条件弭一1=1的解为【答案儿j1jl 【解析】:ydx + (x一3y:)- = 0= = 3i -x = + x = 3y为一阶线性徵分方程所叹f+c=(y+c)丄又因为 = 1时x = l,解得c = 0,故x =.(13)曲线y = x2 + x(x 0)上曲率为专的点的坐标是。2【答那(70)【解析】:将y = 2x + l?/ = 2代入曲率计算公式，有r _112 忑(心严2+何2整理
6、有(2x+l)2=l,解得x = 0或一1,又xvo,所叹x=-l,这时v = 0,故该点坐标为(-匕0)(14设”为3阶矩阵，卜| = 3,才为.4的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵/则|bj*| =【答案】:-27【解析】:由于 b = % ,故 bx = enaaen=3e1,b.f |=| 3e |=33 |e121=27(-1) =-27.三.解答趣23才趣，共列分.请将解答写在答题纸指定位羞上解答应写出文字删、证明程或 (15) (本题满分10分1 +x1已知醪/(乂)=-一，记d=li巴八力sinx xz)(1)求a的值若当xt0时，f(x)-a是h的同阶无穷小，求氏1
7、*【解析】:(1) lim /(x) = lim ( – + 1) =lim -1 = 1,即 a=l20zo si ax xz 疋/八亠+ 、“、11 x-sin x(2儿当无to时，由z(x-曲线匸上三渐近线的条魏为ox 1(a) 0(b) 1(c 2(d) 3rsai: chf析=limi = z ,所以为垂宜的r -1-s* 一亠飞= b所ai =l水平的爱有斜渐近线故两条选cx -1 设函/()=(-lxr-2)l其中料初正整数则/(0)= (-l)f-1)1(b) (7)-纽 (-1)6!d） （一 1）w【答案】:c【解析】:/= 戶一2)l (产一”) + (/_ 1)(20_
8、2)l (/_”)+l (ex-lx-2)l-n)所咲/(0) = (-l)f设3/0=1,2,)，時+则数列()有界是数列(a收敛的(a)充分必要条件.(b)充分非必要条件.(c)必要非充分条件.(d)即非充分地非必要条件.【答案】:(a)【解析】:由于勺ao,则为正项级数，$=亦6+心为正项级数乂冬的前 n=ln=l项和。正项级数前n项和有界与正向级数收敛是充要条件。故选a 设 = i:。 sinxd心=123)贝j有 d(a) ih v厶.(b)12 i.(c) a 75 7k(d)z172 0?fcc(0,),即可知厶=fsin xdx关于a在(om)上为单调增函数，又由于l?2,3e
9、(0,),则右 厶0,空型 切用阿 fircy(x2j,)成立的一个充分条件是(a) x x2r yi 工2,.(c) x 九(d) xi y2_【答案t (d)【解祈】:辿2o, 绝2o表示函数心)关于变量是单调递增的，关于变 fixdy量是单调递减的n因此，当召比必有/(兀”)匕心心【答案】:(c)0 1 -1【解析】=由于|(4心皿)卜0 -11=0,可知线性相关。故迭c)(8)设力为3阶矩阵，p为3阶可逆矩阵，且p%=e=( + a2,a:,a3 j则。辺二(!*!=n o o、* 1 0 0)【解析】:q = p1 1 0,则0】=-1 1 0、0 0 1,、0 0 1,(b)故 q
10、q =z 1 0 o1 0 0-/ 1 0 0、1z1 0 0、z1 -1 1 0pxap1 1 0-1 1 011 1 0=1、o o l、 h/ 0 1,卫0 1j二填空題:14小题，每小s 4分，共24分，请将答琢在答題紺靛位g上. 故选(b)oz1 z1 .2(b)11x.7 /q、1(d)2i2丿l(a)(9)设v = y(x)是由方程xj + l所确定的隐函数，则卑二 ax2x【解析】:方程u+两端对迩导,有”沖，龈驚訂dx dx(10计算 limwxx1二_【解析】:原式二lim – vt二叫 二arctan x*-5e m i / 上、2 0+ y*1 &(11)设z = f
11、lnx + ；,其中函数/()可微，则i yexr + wex 5ycz【答案儿0.cz 1 dz【解析】:因为二=/丄,二二广-丄，所以兀m+y cx x cy i 尹丿g3z dz.广二 0.sr 5y（12）微分方程）:么十（工一3天）冰二0满足初始条件卅一广1的解为.【答案】:x“【解析】:ydx + （x一3j-:）dy = 0= = 3v-x = + x = 3y为一阶线性徵分方程、 矽“丿 心j所以dyc黄阳妙+c卜l+c）*又因为y = i时丫 = 1，解得c = 0,故x =.“j（13）曲线歹二疋+ x（x -7 = /(x)-l = -一一 =sin x x xsinx又
12、因为，当工to时，r-sinx与;空等价，故f(x)a丄兀，即 = 16 6(16) (本题满分10分求/(xv)=- -* :的极值。【解析】；/(x,y) = xe-y ;先求12数的驻点.fl (r:y) = ?-x = 0: f； (x y) = -y = 0 ,解得函数为驻点为(色0)-又 a*； (0) = -l5 = 仏 0) = 0,c =(伉 0) = -1,所以b2-ac 0/ 0,故/(g)在点仏0)处取得极大值/仏0)=学2(17) c本题满分10分过点o 1点作v=ln的切线，切点为a,又l与x釉交于b点，区域d由l与直线ab及兀轴围成，求区域d的面积及d绕x轴旋转一
13、周所得血转体的体枳。lmffij:设切点坐标为xgm勾，斜率为丄，所以设切线方程为y-ln氐=丄(乂-况)，又因为该切线过the using software is free vers ion, you canupgrade it to the upgradevers ion .(0,1)所以牝二,，故切线方程为:yxx+l(18)(本题满分10分计算二重积分|xyda ,其中区域d为曲线r = l + cos(00 时，2x 0,2( 1+ lx2) 0 ,可知 jh0 ；当 r0 时,2xv0,2(l+2工)可知”l + ,-l x 11-x2 1 + y【解析】:令/(x) = xln
14、+ cosx-l,可得1x2x/ 、 . 1+x1+x2./(x|=ln +xg-stnx-x.1 + x2x .=in+ -sinx-x1-x l-xa.1 + x 1+x2.=ln+ gv-sin x1-x1-x，当0vx0,二1,所以mgrsinxho,1-x1-x1 一 x故/(x)0,而/(0) = 0,即得jcln 4-cosx-l-01-x2xlql + cosx + 11-x21+t1 4- y*1 y*当-iujcuo,有- 1,所以 gr-sinx0 ,即得xln_-+ cosx-1- 0 1-x2可牺皿芒十。沦1十1*1(21)(本题満分11分)(1)证明方程+%=1(心
15、蹄整数)，在区间:1;内有且仅有一个实根;记(1)中的实根为证明血花存在,并求此极限。【解祈】:由题意得:令/(x)= + +l 1 1丿则/(i) 0 ,再由足)=12 (孑)-1 = 令” b =00 1a0、a 0 013丿(i求|川(ii已知线性方程组，4x = b有无穷多解，求,并求磁的通解。0a1 a 0au=lxa01 a+ax(_l)z 110 0 101 a 01 a0 10 00 0a 0 = 1a41 a11 a00rfla0 1a0-i01t0 01a0.00(ii)4 o01o,lo2 -a 1a001、 0、1a0-1,001a01001 -a4 -a-【解析】:(
16、i ) 0a001、fla001 、a0-10t1a0-11a0001a001-j1003 a1可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有l-a4 = 0及可知“-1。q-i00、fl00-10、0i-10-1=010-1-1,进一步化为行最简形得0001-1001-10卫0000丿00000 ;z此时，原线性方程组増广矩阵为厂0、a = 1-1 0 a（1 0 2丫叫）=2西 2 + 2乞2 + 4×32 + 4×3 + 4×32 0 2、则矩阵02277 4z-20-2ae-b= 02-2-2 =z(2-2)(x-6) = 0_22 a 4解得b矩阵的特征值为:a1=0；x2=2:z3=6(1、对于解仏得对应的特征向量为:11-v对于勺=2:解(彰-p)x = o得对应的特征向量为:必=-1对于/.=6,解(禺= o得对应的特征向量为:773= 1 (2丿将q皿心单位化可得:t11 ,11、t丿1z
