2022年2021-2021华中师范大学数学分析考研真题(2022年2023年期末数学考试)

1、2004年数学分析1.求下列极限 (共 50 分,第 1,2 小题各 10 分,第 3,4 小题各 15 分) (1)21sin0lim(cos)xxx(2)11lim123nn1+n(3)74444lim(112)xxxxx(4)1lim sin(sin)2nnkknn2.(15)设)(),(xgxf在,ba上连续 ,在),(ba内可导 ,若12,x x 是)(xf在区间,ba上的两个零点，证明:存在 , a b，使得( )( )( )0ffg3.(15)设)(xf在)0(,abba上连续 ,在),(ba内可导,证明:在),(ba内存在,使baff)()(2. 4.(15)设)(xf在,ba

2、上黎曼可积 ,证明:( )f xe在,ba上也是黎曼可积的 . 5.(15)( )(1,2,3,nfx n ） 在, ba上连 续 ,函数)(xg在,ba上 也连续 ,且对, ba中任 意的12,x x 和正整 数n,有1212| ( )( )|nnmf xf xxxn(0m),证明:lim( ). ( )0bnnag x fxdx. 6.(15)设( )nfx(,2 ,1n)在,ba上连续 ,且( )nf x 在,ba上一致收敛与)(xf.证明: (1)存在0m,使对任何自然数n,有|( )|,| ( )|nf xmf xm及. (2)若)(xf为 （，） 上连续函数 ,则( )nf f x

3、一致收敛于)(xff. 7.(10)设函数)(xf在闭区间1 , 1上具有三阶连续导数,且0)0(, 1)1 (,0) 1(fff,证明 :在)1 , 1(内至少存在一点,使得(3)()3f. 8.(15) 函数),(yxf在点00(,)xy的某个邻域内有连续的二阶偏导数, 且00000000( ,)0,( ,)0,( ,)0,( ,)0 xyxxf x yfx yfx yfx y, 证明:由方程),(yxf确定的隐函数( )yf x在0 x点取得极小值 . 2005年数学分析1.求下列极限或指定函数的值: (1)1!2!3!lim!nnn(10 分) (2)1 3 5(21)lim2 4 6

4、2nnnn(10分) 精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 1 页，共 8 页 – – – – – – – – -精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 1 页，共 8 页 – – – – – – – – -(3)1326lim ().12xxxxxex(10 分 ) (4) 设)(xf在0 x的 邻 域二 阶 可 导 ,且130( )lim(1)xxf xxex,求(0),(0),(0)fff的值.(15 分) 2.(15)设函数)(),(xgxf在,ba上可导 ,且在),(ba上( )

5、0gx,证明:存在)( )( )( , )( )( )( )f affa bgg bg(使. 3.(15)设函数( )f x在4,2上有连续的一阶导函数 ,且(2)(4)0ff,证明:4242max |( ) | |( )|xfxf x dx. 4.(13)设有方程.sin(01)xmqxq.若0101,.sin ,sin ,nnxm xm qxxm qx证明 :nx收敛 ; 设limnnxl,再证明 l 是方程.sinxmqx的唯一解 . 5.(13)证明:函数项级数11(1) )xnnxenn在任何有穷区间 , a b上一致收敛 . 6.(13)设( )f x在 , a b上二阶可导 ,且

6、( )0fx,证明:1()( )2baabff x dxba. 7.(13)设12,na aa均为常数 ,证明:函数项级数101.!xntnnat e dtn在 , a b上一致收敛 . 8.(13)设( )f x在 , a b上黎曼可积，( )0,f xc用可积准则证明:函数ln( )f x在 , a b上黎曼可积 . 9.(10) 设( )f x在 , a b上 具 有 连 续 的 二 阶 导 数 , 证 明 : 在( , )a b内 存 在, 使 得31()()()(). ()22 4baabf x dxba fbaf2006年数学分析1.(30) (1)111sin)1(sinlim1

7、21xxexx. (2) 设xxaxy,求y. (3) dxxxln1lnln. (4)设yxyxyxfyarcsin)1(),(2,求)1 ,(xfx. (5)dxdyeyxyxd22)(,其中 1),(22yxyxd. (6) 求lydxydyxicossin,其中 l 是从点)0,0(o到点)0,(a的正弦曲线有xysin. 2.(20)设)(xf在( ,)a上 可 导 , 且()fx在( ,)a上 有 界 , 证 明 :(1) )(xf在( ,)a上 一 致 连 续 . (2)()lim( )lim( )xxaf af xf x存在，但不一定存在 . 精品学习资料 可选择p d f –

8、 – – – – – – – – – – – – – 第 2 页，共 8 页 – – – – – – – – -精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 2 页，共 8 页 – – – – – – – – -(3)若)(limxfx存在，且)(lim)(limxfxfaxx，则)(xf在( ,)a上至少有一个零点。3.(20)设)(xf在 1 , 0上连续 ,)1()0(ff,(1)证明: 存在010,2x,使得001()()2f xf x. (2)试推测 |:对任意正整数n,是否存在010,nxn,使得001()()f xf xn,并证明你的

9、结论 . 4.(10)设)(xf在0,)上连 续 ,且0)(xf,记00()()()xxtftdtxftdt, (1)求0lim()xx. (2)证明:( )x在(0,)上是严格单调递增 .5.(10)证明: 若1nna绝对收敛 ,则)(12311nnnaaaa也绝对收敛 . 6.(15)设)(xf在0, 2上连续 ,证明: (1)sin02nx在 ， 上不一致收敛 . (2) sin( )02nx f x（）在 ， 上一致收敛的充要条件是()02f. 7.(10)设),(zyxf为3r上的n次齐次函数 :对),(),(,0zyxfttztytaftn,且具有一阶连续偏导数,( , , )0z

10、fx y z,若方程( , , )0f x y z确定了可微的隐函数( , )zg x y,证明:( ,)zg x y必为一次齐次函数 . 8,(20)设( , )f x y2在r上具有二阶连续的偏导数,证明: (1)对2r内任意光滑简单闭曲线l，总有2222()ldfffdsdxdynxy，其中 n为 l 的外法方向，fn是( , )f x y 沿n的方向导数， d 是 l 围成的有界闭区域 ; (2) ( , )f x y 为2r是的调和函数（即22220ffxy）的充要条件是对2r内的任意光滑简单闭曲线l，总有0lfdsn. 9.(15)设n是正整数 ,给定方程1nxx,证明: (1)此

11、方程仅有惟一的正根(0,1)nx. (2)lim1nnx. 2007年数学分析1.(30) 计算题 : (1)1)1sinsin(ln)1(lnlim230 xxexx. (2) 设xxxxyln,求y. 精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 3 页，共 8 页 – – – – – – – – -精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 3 页，共 8 页 – – – – – – – – -(3) dxexdxexx02044. (4)设),(yxf可微,且bfaffyx)1 , 1(,)1

12、 , 1(,1)1 ,1 (,令),(),()(xxfxxffxf,求) 1 (f. (5)dxdyeyxyxd222)(33)(,其中 1),(22yxyxd. (6) 求lxxydxeydyeicossin,其中 l 是从点)0, 0(o到点)0,2(a的下半圆周xyx222. 2.(25)设)(xf在),0(上 可 导 , 且)(xfx在),0(上 有 界 , 证 明 : (1)(xf在)

,0(上 一 致 连 续 . (2)(lim)0(0 xffx存 在 .(3)若 将 条 件 “)(xfx在),0(上 有 界 ” 改 为 “)(lim0 xfxx和)(limxfxx都存在”,试问:

13、还能否推出)(xf在),0(上一致连续 .如果能请证明你的结论，如果不能请举反例 . 3.(25)设)(xf在),0(内 4 阶可导 , (1) 证明:若)(limxfx和)(limxfx都存在 ,则0)(limxfx. (2) 若)(limxfx和)(lim4xfx）（都存在 ,是否能推出对任意的正整数41k,)(limxfkx）（都存在且为 0 ,请证明你的结论 . 4.(10)设)(xf在0,)上连续 ,且axfx)(lim( a可以为或),试证:xxadttfx0)(1lim.5.(15)设nkknnasa1,0,证明: 1nna收敛1nnnsa收敛. 6.(15)若na单调递减 ,且

14、0limnna,证明: (1)1cosnnnxa在2,上一致收敛 ,其中 0. (2) 1cosnnnxa在2,上一致收敛的充要条件是1nna收敛. 7.(15)设),(yxuu是由方程组0)()()()(zgzf yxzgzyfzxu所确定的二阶连续可微隐函数,其中gf ,有二阶连续的导数 ,证明:0)(222222yxuyuxu. 8.(15)设),(zyxf上3r 具有二阶连续的偏导数 ,证明: (1)对3r内任意光滑简单闭曲面s,总有dxdydzzfyfxfdsnfvs)(222222,其中n为s的外法方向 ,fn是),(zyxf沿n的方向导数 ,v是s围成的有界闭区域; (2) ),

15、(zyxf为3r 是的调和函数（即0222222zfyfxf）的充要条件是对3r 内的任意光滑简单精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 4 页，共 8 页 – – – – – – – – -精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 4 页，共 8 页 – – – – – – – – -闭曲线 s，总有0dsnfs. 2008年数学分析1.(36)计算题 : (1) nnnnnn)12()1(1lim(2) dxdydzzyxttzyxt222222240sin1lim(3) 求曲线积分lyx

16、ydxxdy229,其中 l 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线.2.(15)设函数)(xf在),0上具有连续的导函数 ,且)(limxfx存在有限 ,10, 是一个常数 ,证明:)(xf在),0上一致连续 .3.(15) 设)(xf和)(xg在,ba上 连 续 且 在),(ba内 可 导 , 试 证 : 在),(ba内 存 在 点, 使 得)()()()()()(fagbggafbf. 4.(20)证明:函数项级数1)(nnxnexf在),0(上收敛 ,但不一致收敛 ,而和函数)(xf在),0(上可以任意次求导 .5.(20)证明:方程)sin(2xyyx在原点的某个邻域内可以

17、唯一确定隐函数)(xfy,并)0(y计算的值 . 6.(14)证明:若函数)(xf在,ba上无界 ,则必存在,ba上的某点 ,使得)(xf在该点的任何邻域内无界 . 7.(12)设函 数u在),0上 连续 可微且dxxuxu)()(22,试 证 :(1) 存在),0中的 子 列1nnx使得当n时,nx且0)(nxu(2)存在某常数0c,使得21022,0)()()(supdxxuxucxux8.(18)设3r 为有界闭区域 ,且具有光滑边界t0 ,.(1) 设vu, 是上具有连续二阶偏导数的函数,试证:dsnuvdxdydzvudxdydzuv,其中222222zuyuxuu,u 为u的梯度

18、,nu为u沿区域的边界的外法向n 的方向导数 ;(2) 设),(tzyxu在),0t上具有连续一阶偏导数,试证:), 0,),(),(ttdxdydztzyxtudxdydztzyxudtd; (3)设),(tzyxu在), 0t上具有连续二阶偏导数且满足3uutu若u在精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 5 页，共 8 页 – – – – – – – – -精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 5 页，共 8 页 – – – – – – – – -),0t上恒为零记2222)()()

19、(zuyuxuu, 试证dxdydzuute)4121()(42在),0t上是减函数 .2009年数学分析1.(30) 计 算 题 : (1)1)1()ln1cossin()sin(lim0 xxxx(2) 计 算 二 重 积 分dxdyyydsin, 其 中 d 是 由0, 1,xyxy围成的区域 . (3) 求曲线积分cyxdxydyx22)2()1(4)2()1(其中 c为平面内任意一条不经过点)2 ,1 (得正向光滑封闭简单曲线2.(12)设函数)(xf定义在开区间),(ba内,若对任意的),(bac,都有)(limxfcx存在 ,且)(limxfax和)(limxfbx也存在，则)(

20、xf在开区间),(ba内有界 . 3.(12)证明:含参量反常积分dyxexy0在),上一致收敛)0(,但在),0(内不一致收敛 . 4.(20)设函数)(xf在 1 ,0上连续 ,在)1 ,0(内可微 ,且存在0m,使得mxxfxf xx2)()(),1 ,0(,证明 : (1) xxf)(在 1 ,0内一致连续 . (2)(lim0 xfx存在. 5.(20)证明下面结论 : (1)若)(xf在 1 ,0上连续 ,则100)(limdxxfxnx. (2)若)(xf在 1 ,0上连续可微 ,则10)1 ()(limfdxxfxnnn. 6.(18)设0,00,sin),(222222222

21、yxyxyxyxyxyxf,讨论),(yxf在原点)0 ,0(处的连续性 ,偏导的存在性以及可微性 . 7.(20)设函数列)(xfn中的每一项函数)(xfn都是,ba上的单调函数 ,试证明 :(1)若1)(nnaf和1)(nnbf都绝对收敛 ,则1)(nnxf在,ba上一致收敛 . (2)若每一项函数)(xfn的单调性相同 ,且1)(nnaf和1)(nnbf都收敛，则在上一致收敛. 8.(18) 设f连 续 , 证 明 :(1) 证 明 :vdxxxfdxdydzzf112)1)()(, 其 中1:222zyxv.(2) 记 函 数dxdydzczbyaxfcbafv)(),(,其中1:22

22、2zyxv,证明: 球面1222cba为函数),(cbaf的等值面 ,即),(cbaf在球面1222cba上恒为常数 ,并求出此常数 . 精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 6 页，共 8 页 – – – – – – – – -精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 6 页，共 8 页 – – – – – – – – -2010年数学分析1.(30)计算题 : (1)设函数)(xf定义在),(上,满足:1)0()(lim,cos)()2(0fxfxxfxfx,求)(xf. (2) 设40

23、tan xdxann,求)(121nnnaan的值. (3) 求曲线积分dzyxdyxzdxzyl)()()(,其中l为平面0zyx与球面1222zyx相交的交线,方向从z轴正向看是逆时针的 . 2.(12)设0,)(xxf,证明:当10时, )(xf在),0(上一致连续 ; 当1时, )(xf在),0(上不一致连续 . 3.(12)证明:含参量x反常积分dyxexy0在),上一致收敛)0(,但在),0(内不一致收敛 . 4.(20)函数)(xf在, ba上连续 ,在),(ba内二阶可导 ,且过点)(,(afa和)(,(bfb的直线与曲线)(xfy相交于点)(,(cfc(bca),证明:存在)

24、,( ba,使得0)(xf. 5.(20)设可微函数列)(xfn在,ba上逐点收敛 ,且对任意,bax存在x的邻域)(xu,使得)(xfn在,)(baxu上一致有界 ,证明: (1)(xfn在 1 ,0上一致有界 . (2)(xfn在 1 ,0上一致收敛 . 6.(20)设0,00),ln(),(222222yxyxyxxyyxf,讨论),(yxf在原点)0,0(处的连续性 ,偏导的存在性以及可微性 . 7.(20)已知)(xf是),0上的正值连续函数 ,且dxxf0)(1,证明: (1)存在数列),2 ,1)(, 0nxn满足 :nx严格单调递增 ,)(lim,limnnnnxfx. (2)

25、dttfxxx02)(1lim. 8.(16) 已 知),(zyxf和),(zyxg在1:222zyxv上 具 有 二 阶 连 续 的 偏 导 数 , 记zyxzyx,222222(1)证明 :vvsdxdydzfgdsnfgdxdydzfg)()(,其中n表示 s的外法线方向,s 为球面1222zyx. (2)若222zyxf,试计算 :dxdydzzfzyxzyfzyxyxfzyxxiv)(222222222. 精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 7 页，共 8 页 – – – – – – – – -精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 7 页，共 8 页 – – – – – – – – -精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 8 页，共 8 页 – – – – – – – – -精品学习资料 可选择p d f – – – – – – – – – – – – – – 第 8 页，共 8 页 – – – – – – – – –